Toán học có tạo ra cái khung vô hình của hiện thực hay nó chỉ là sản phẩm thuần túy của trí tuệ con người ? Toán học có tồn tại tự thân theo cách như các ý niệm của Platon? Hay ngược lại, sự hòa hợp giữa toán học và thế giới chỉ là sự phản ánh cách thức họat động và lĩnh hội thế giới đó của ý thức con người ?

Trịnh Xuân Thuận: Các phương cách chiếm lĩnh tri thức trong khoa học và trong Phật giáo liệu có thể được so sánh với nhau? Tri thức khoa học sinh ra từ trí tuệ và lý trí mà chức năng của chúng là phân biệt, phân chia, phân loại và phân tích. Cách thức hoạt động này chính là nền tảng của phương pháp quy giản luận. Nhà khoa học tách ra các mẩu của hiện thực, sau đó tiến hành phân loại, đo đạc và định lượng chúng. Não bộ của nhà khoa học biến thế giới các hiện tượng bên ngoài thành một hệ thống các khái niệm và biểu tượng trừu tượng. Anh ta tìm kiếm các quy luật và biểu diễn Tự nhiên bằng các định luật có ngôn ngữ chung là ngôn ngữ toán học, dù rằng ngôn ngữ đó là trừu tượng nhất. Niềm tin rằng tính quy luật phía sau của Tự nhiên có thể được diễn đạt bằng toán học chính là nền tảng của phương pháp khoa học. Một số nhà khoa học thậm chí còn quả quyết - mà theo tôi là hơi thái quá - rằng, một bộ môn không diễn đạt được bằng ngôn ngữ toán học thì không thể được gọi là khoa học.

Matthieu: Galilée đã tìm viết rằng tất cả những gì không bắt nguồn từ sự nghiên cứu các tính chất có thể đo đạc và định lượng hóa được của các vật thể vật chất (hình dạng, số lượng và chuyển động) đều không phải là khoa học. Quan niệm như

vậy đã thu hẹp đáng kể phạm vi nghiên cứu của cái mà người ta gọi là khoa học. Không nên quên rằng từ khoa học (science) bắt nguồn từ tiếng Latinh scire, có nghĩa là "tri thức". Vì vậy, việc thu hẹp tri thức chỉ ở những cái mà ta có thể diễn đạt bằng các phương trình toán học là vô lý. Điều này ngay lập tức loại trừ kinh nghiệm sống. Hiểu được lòng tốt sưởi ấm trái tim con người và hận thù làm cho con người thêm sầu muộn cũng là một tri thức, tức cũng là một bộ phận của khoa học. Người ta có thể nhận thấy hiện tượng này lặp đi lặp lại, có thể phân tích cơ chế và tìm hiểu các nguyên nhân của nó.

Chẳng hạn, chúng ta hãy xuất phát từ giả thiết cho rằng bản chất sâu xa của tinh thần là yên bình, còn tâm địa độc ác hay thói ghen ghét chỉ là những nhiễu động nhất thời làm che lấp bản chất này. Tiếp sau chúng ta hãy kiểm tra giả thiết này bằng thực nghiệm thiền định. Vai trò của toán học trong tất cả những điều này là gì? Mọi tri thức được kiểm tra bằng thực nghiệm và thu được một cách có phương pháp và nghiêm túc đều có thể được coi là khoa học, dù nó ở cấp độ định tính hay định lượng, được thể hiện bằng ngôn ngữ toán học, miêu tả, hình ảnh, biểu tượng hay chủ quan. Khái niệm "khoa học chính xác" không nên chỉ dành cho sự mô tả các sự kiện có thể định lượng được với độ chính xác với 10 chữ số sau dấu phẩy. Một khoa học là chính xác trong chừng mực nó nắm bắt được một cách chính xác bản chất thực của sự vật.

Trịnh Xuân Thuận: Quan niệm cho rằng mọi tri thức khoa học đều phải có thể biểu diễn được bằng ngôn ngữ toán học

là vô lý. Tuy nhiên, thành công to lớn đến kinh ngạc của toán học trong việc mô tả hiện thực là một trong những điều huyền bí nhất. Quan điểm cho rằng thế giới vật lý chỉ là sự phản ánh của trật tự toán học đã xuất hiện ở Hy Lạp cổ đại, cũng như rất nhiều quan điểm khác, đã nhào nặn nên nền văn minh hương Tây. "Con số'là nguyên lý và là nguồn gốc của mọi chuyện", Pythagore đã từng tuyên bố như vậy vào thế kỉ VI trước CN. Còn Galilée, 22 thế kỉ sau, cũng hưởng ứng: "Cuốn sách về Tự nhiên được viết bằng ngôn ngữ toán học", và kể từ đó, sự hưởng ứng này còn được nhân tiếp lên. Vào thế kỉ XX nhà vật lý Eugene Wigner đã bày tỏ sự ngạc nhiên về "hiệu quả đến phi lý của toán học trong việc mô tả thế giới hiện thực". Không thiếu những ví dụ về sự tương hợp này giữa toán học và Tự nhiên trong lịch sử khoa học. Trong hầu hết các trường hợp, khi việc khám phá ra một hiện tượng vật lý mới đưa các nhà vật lý đến một miền đất lạ, thì họ đều phát hiện ra rằng các nhà toán học đã đến đó trước họ, không phải nhờ sự dẫn dắt của Tự nhiên mà là nhờ

tư duy thuần tay. Chẳng hạn, vào những nam 1920, khi Einstein phát hiện ra lực hấp dẫn làm cong không gian, ông không thể dùng hình học Euclide được nữa vì nó chỉ mô tả các không gian phẳng. Vì thế, ông đã vô cùng vui sướng khi phát hiện ra các công trình của nhà toán học Bernhard Riemann, người ta đã phát triển lý thuyết về hình học các không gian cong ngay từ thế kỉ XIX . Đó chính là hình học Euclide. Bây giờ ta hãy xét một mặt cong. Nó có thể có độ cong dương, như mặt

cầu hoặc có độ cong âm, như mặt hình yên ngựa. Trên một mặt có độ cong dương, như bề mặt Trái đất các đường kinh tuyến dường như song song ở gần đường xích đạo nhưng lại gặp nhau ở hai cực. Như vậy, không thể dựng được một đường thẳng nào song song với một đường thẳng cho trước. Hơn nữa, tổng các góc của một tam giác trên mặt cầu lớn hơn 180 độ Trái lại, trên mặt có độ cong âm, qua một điểm ta có thể dựng được vô số các đường song song với một đường thẳng đã cho và tổng các góc của một tam giác trên mặt cong này nhỏ hơn 180 độ. Trong những năm 1970, nhà toán học Benoit Mandelbrot đã bỏ công đi tìm một khái niệm mới để mô tả hình học của những hình không đều đặn. Hình học Euclide hết sức tuyệt vời khi cần phải mô tả các đường thẳng, các khối lập phương hay các khối cầu, nhưng sẽ không còn dùng được nữa ngay khi người ta xem xét các vật thể không đều đặn, cong xoắn, vẹo vọ, đứt đoạn hay sần sùi. Vậy mà, trên thực tế, cái không đều đặn lại chiếm ưu thế trong thế giới thực . Các khái niệm của Euclide như đường thẳng, đường tròn đều là những cãi trừu tượng hóa ghê gớm từ hiện thực, chúng cho phép chúng ta đạt được những thành tựu lớn lao trong nghiên cứu Tự nhiên, nhưng chúng cũng có những hạn chế riêng. Mandelbrot nhấn mạnh: "Những đám mây không phải là khối cầu, các ngọn núi không phải là hình nón, và những tia chớp không phải là những đường thẳng". Để mô tả hình học của những cái không đều đặn, ông đã phải sử dụng khái niệm "chiều phân số” : chiều của một vật không đều đặn không được biểu diễn bằng một số nguyên như 1, 2 hay 3 nữa, mà bằng

một phân số. Đó là những "vật fractal". Lại một lần nữa, Mandelbrot phát hiện ra rằng ý tưởng về các chiều phân số đã được nhà toán học Felix Hausderffe đưa ra từ năm 1919.

Tại sao các thực thể trừu tượng vốn thường không có tác dụng gì trong cuộc sống hằng ngày và được nảy sinh từ bộ óc các nhà toán học lại tỏ ra rất phù hợp với các hiện tượng tự nhiên? Khi một lý thuyết vật lý mới, như lý thuyết siêu dây chẳng hạn, không có sẵn các công cụ toán học cần thiết, các nhà vật lý đã tỏ ra rất ngạc nhiên.

Matthieu: Tại sao sự tương hợp đó giữa thế giới cụ thể của hiện thực và thế giới trừu tượng của toán học lại làm cho ông ngạc nhiên đến thế? Việc những cái mà chúng ta nghĩ ra phù hợp với hiện thực mà chúng ta cảm nhận được không có gì là đáng ngạc nhiên cả.

Cách thức khám phá và sau đó sắp xếp các cảm nhận của chúng ta về thế giới tất yếu phải phù hợp với các khái niệm toán học, bởi vì cả hai đều được sinh ra từ đầu óc chúng ta. Nghĩ rằng thế giới vật lý chỉ là sự phản ánh của trật tự toán học thì, theo tôi, dường như người ta đã đảo ngược trật tự sự việc. Phật giáo hẳn sẽ nói rằng toán học chỉ là những khái niệm của con người được áp dụng cho trật tự của tự nhiên, một trật tự mà chính bản thân nó cũng là sự phản ánh của sự phụ thuộc lẫn nhau và của các quy luật nhân quả, trong đó bao hàm cả ý thức. Việc các mệnh đề toán học nhất quán có sau hoặc có trước khi người ta khẳng định được chúng có những yếu tố tương đương trong tự nhiên không làm thay đổi gì lớn và cũng không ban cho chúng một vị

thế đặc biệt hoặc một cách tồn tại khác về cơ bản. Liệu có nên ngạc nhiên khi số học được áp dụng vào việc đếm các viên sỏi trên đường, còn khái niệm các chiều phân số được áp dụng cho các vật fractal? Số học và hình học không tồn tại "tự thân" cả trong đầu óc con người lẫn trong thế giới bên ngoài.

Ý thức xây dựng nên toán học không nằm ngoài Tự nhiên; cách thức chúng ta cảm nhận thế giới gắn bó chặt chẽ với sự hoạt động của tinh thần chúng ta, đến mức mà một số trường phái Phật giáo thậm chí còn đi đến định nghĩa thế giới bên ngoài là một "hình ảnh của tư duy con người". Chắc chắn là một số nhà sinh học nơron khẳng định ngược lại rằng cấu trúc trí óc của chúng ta chỉ là một "dấu vết" của thế giới bên ngoài hằn in lên hệ thống thần kinh của chúng ta. Trên thực tế, do có sự phụ thuộc lẫn nhau, nên sự ảnh hưởng là tương hỗ, và toán học chỉ là một sự phản ánh trong số rất nhiều các phản ánh khác của sự phụ thuộc lẫn nhau này.

Trịnh Xuân Thuận: Tuy nhiên, tôi không nghĩ rằng tính hiệu quả đến "phi lý" của toán học trong việc mô tả thế giới lại là hệ quả của sự tương tác của ý thức với thế giới bên ngoài và của tổng thể các kinh nghiệm sống của chúng ta, bởi vì một phần lớn toán học được sáng tạo ra một cách hoàn toàn trừu tượng.

Matthieu: Trong quá trình nghiên cứu, các nhà toán học chỉ nghiên cứu cách thức hoạt động của não bộ của họ, cách thức mà tư duy của chúng ta xây dựng dần dần một khuôn khổ để hiểu các hiện tượng. Khuôn khổ này lẽ tự nhiên là sẵn sàng áp dụng được cho mọi hiện tượng xuất hiện, vì đó chính là

lý do tồn tại của nó. Vì vậy không có gì phải ngạc nhiên khi công cụ tinh thần đa năng này có lúc vượt trước các quan sát của chúng ta và có thể được sử dụng vào các mục đích mà chúng ta không thể hình dung được. Toán' học có thể xem xét tất cả các khả năng logic còn chưa được tìm thấy hoặc sẽ không bao giờ tìm thấy những tương đương trong Tự nhiên, nhưng không ban cho những ý tưởng ấy một tồn tại độc lập.

Theo Phật giáo, "tư duy thuần túy" không phải là trí tuệ, toán học hay cái gì khác, mà là sự hiện diện tỉnh thức tạo nên khả năng cơ bản của tinh thần có ý thức. Khía cạnh "soi sáng" này của tinh thần đối lập với sự vắng bóng của ý thức, điều đặc trưng cho viên sỏi chẳng hạn. Trí tuệ của chúng ta bị quy định chặt chẽ bởi giá đỡ vật lý của nó - tức cơ thể của chứng ta - và bởi kinh nghiệm tích lũy được bởi ý thức của chúng ta, kinh nghiệm này không chỉ giới hạn ở cuộc sống hiện tại của chúng ta. Vì vậy, sự ngạc nhiên của các nhà vật lý khi tìm ra các công cụ toán học không khác gì với sự ngạc nhiên của người đột nhiên phát hiện ra rằng hai người mà anh ta biết rõ là họ hàng gần, điều mà trước đó, anh ta hoàn toàn

không biết.

Trịnh Xuân Thuận: Nói cách khác, vì ý thức của chúng ta cùng tồn tại với thế giới các hiện tượng, nên tất cả những gì nó thai nghén đều phải phù hợp với thế giới này.

Matthieu: Tuy nhiên, không vì thế mà chúng ta kết luận rằng tất cả các tưởng tượng bay bổng của đầu óc đâu có những tương ứng trong thế giới! Mọi hệ thống khái niệm nhất quán, dù là logic hay toán học, nhất thiết

đều phải là sự phản ánh của tương tác giữa ý thức của chúng ta và thế giới, vì lý do đơn giản là chúng ta không thể tách chúng ra khỏi nhau mà không làm cho chúng biến mất.

Trịnh Xuân Thuận: Theo cá nhân tôi, để giải thích sự hòa hợp huyền bí này, tôi sẽ viện đến Platon, người từng cho rằng có hai cấp độ hiện thực: hiện thực của thế giới vật lý mà các giác quan và các thiết bị đo của chúng ta có thể tiếp cận được - một thế giới vô thường, luôn thay đổi, phù du và ảo - và hiện thực của thế giới đích thực của các ý niệm vĩnh hằng và bất biến. Cái thế giới thứ nhất chỉ là sự phản ánh mờ nhạt của thế giới các ý niệm. Chắc ông cũng biết câu chuyện ẩn dụ nổì tiếng về những người sống trong hang động mà Platon đã giới thiệu trong cuốn Nền Cộng hòa để minh họa sự lưỡng phân của hai thế giới. Bên ngoài hang động có một thế giới đầy màu sắc, hình dạng và ánh sáng mà những người này không thể nhìn thấy và không thể tiếp cận được. Tất cả những gì mà họ cảm nhận được chỉ là những cái bóng được phóng chiếu của các vật và sinh vật sống ở thế giới bên ngoài lên vách hang. Thay vì sự phong phú các màu sắc và độ sắc nét của các hình dạng của hiện thực huy hoàng, họ chỉ thấy những sắc xám u buồn và các đường nét lòe nhòe của những cái bóng. Theo Platon, giống như thế

giới của những cái bóng, thế giới mà các giác quan của chúng ta có thể cảm nhận được chỉ là một sự nghèo hóa của thế giới các ý niệm. Nhưng thế các giới ý niệm, được chiếu sáng bởi Mặt Trời trí tuệ cũng là thế giới ở đó ngự trị các quan

hệ toán học và các cấu trúc hình học hoàn hảo. Như vậy, vì thế giới vật lý chỉ là phản ánh của thế giới Platon, nên không có gì ngạc nhiên khi toán học và thế giới cảm nhận được có sự tương đồng.

Matthieu: Quan điểm của Phật giáo về vấn đề này rất rõ ràng. Mặc dù không được tham gia các cuộc tranh luận với các triết gia Hy Lạp, nhưng Phật giáo đã từng tranh luận với một số triết gia Hindou, những người có quan điểm về vấn đề này tương đối gần gũi với quan điểm của Platon. Phật giáo đã bác bỏ khái niệm ý

niệm bằng một logic đơn giản. Một số người ở Ấn Độ nghĩ rằng ý niệm "cây" chẳng hạn là nguyên lý cơ bản của tất cả các loại cây của tự nhiên, những cây này chẳng qua chỉ là các biểu hiện thô sơ hay các "trường hợp cụ thể" của ý niệm này mà thôi.

Trịnh Xuân Thuận: Đúng là gần giống nguyên văn lập luận của Platon.

Mauhieu: Nếu nguyên lý "cây" không tồn tại, triết gia Hindou nói, thì chúng ta không thể xây dựng được khái niệm trừu tượng về cây; nó vừa độc lập với mọi cái cây cụ thể lại vừa áp dụng được cho tất cả các cây. Phật giáo trả lời rằng cần phải lựa chọn: hoặc là ý niệm "cây" này có một mối quan hệ thiết yếu với các cây của tự nhiên, hoặc nó không có liên hệ gì hết.

Nếu nó có liên hệ với tự nhiên, thì mối liên hệ này phải được thể hiện bằng một số hiện tượng mà kinh nghiệm có thể nắm bắt được. Thế nhưng thực tế lại không phải như vậy. Nếu ý niệm "cây" gắn bó về nội tại với tất cả các cây, thì tất cả chúng đều phải mọc khi một cây mọc, và tất cả phải chết khi một cây chết. Còn nếu ý niệm này không có

bất kỳ quan hệ nào với các cây trong tự nhiên, thì nó sẽ chẳng dùng để làm gì. Nó cũng chỉ là tưởng tượng như lông của con rùa hay cái sừng của con thỏ. V vậy, ta có thể bỏ qua giả thiết này. Hơn nữa, một ý niệm bất biến làm sao lại có thể có một giao diện chung với một cái gì đó có tính chất quá độ, tạm thời? Như vậy, ý niệm này chỉ là một cái nhãn tinh thần, không hơn không kém.

Trịnh Xuân Thuận: Platon khẳng định điều ngược hẳn lại. ông phân biệt ý niệm hoàn hảo về một cái cây với tất cả những biểu hiện không hoàn hảo của nó trong thế giới. ông thừa nhận hai gương mặt của Thượng đế, một gọi là Cái thiện, vĩnh cửu và bất biến, tồn tại trong thế giới các ý niệm; cái gương mặt kia là Con tạo, nó tạo tác vật chất của thế giới ngẫu nhiên và luôn thay đổi của các cây, sao cho phù hợp với các hình dạng hoàn hảo của thế giới các ý niệm.

Matthieu: Liệu có một sự kết nối giữa ý niệm về một cây với sự biểu hiện của nó không? Nếu có, thì ý niệm là vô ích. Vậy, nghiên cứu nó phỏng có ích gì?

Trịnh Xuân Thuận: Platon cho rằng đó là các đặc tính chung và hoàn hảo. Matthieu: Đó chỉ là một kết cấu tinh thần, mặc dù nó cũng có ích để sắp xếp một số thực vật trong họ "cây". Có xem xét ý niệm đó hay không cũng chẳng có ảnh hưởng gì đến sự tồn tại của cây. Và nếu ý niệm có một giao diện chung với hiện thực thô, thì nó không thể là bất biến được.

Trịnh Xuân Thuận: ông đã chỉ đúng vấn đề. Có một sự lưỡng phân cơ bản giữa thế giới luôn biến đổi của kinh nghiệm và thế giới bất biến của các ý niệm.

Platon đã không tìm cách dung hòa hai thế giới đó, mà bằng lòng ở việc đưa ra hai gương mặt của Thượng đế và tuyên bố rằng cái Thiện là thật, còn Tạo hóa chỉ là một biểu hiện mờ nhạt và hư ảo.

Khi cố gắng giải quyết vấn đề bằng việc đưa ra ý niệm về sự sáng thế từ hư vô nhờ một đức Chúa trời nằm ngoài thời gian và không gian, học thuyết Thiên Chúa giáo đã phải đối mặt với một tình trạng tiến thoái lưỡng nan: hoặc là Chúa là đấng sáng thế và là nguyên nhân của thế giới luôn biến đổi, nhưng như thế, Chúa cũng sẽ là ngẫu nhiên và nằm trong thời gian, hoặc là Chúa bất biến và sự sáng thế của Chúa cũng bất biến. Nhưng một Chúa bất biến không thể tạo ra một thế giới luôn biến đổi.

Nhờ có các phát hiện của khoa học hiện đại, tôi thấy hé mở một giải pháp như sau: Thượng đế nằm ngoài thời gian, đồng thời bản chất và những dự định của Ngài được biểu diễn bằng các định luật về tổ chức và phức tạp hóa nằm ngoài thời gian cũng bất biến và bất động. Nhưng dù có như vậy thế giới cũng không bất biến. Nó có thể biến đổi là bởi vì, nhờ có sự nhòe lượng tử và hỗn độn, vũ trụ có thể tự do sáng tạo bằng cách thêu dệt từ các định luật đó. Bằng cách chọn trong số rất nhiều khả năng, vũ trụ có thể biến đổi và mang tính ngẫu nhiên.

Matthieu: Hoan hô ! Một cái bất biến, không thay đổi lại bận tâm đến sự thay đổi. Một cái bất biến lại có "những dự định"? Cho tương lai? Thế thì còn gì là bất biến nữa! Lại còn những định luật nằm ngoài thời gian nữa? Thế tại sao lại không phải là nằm bên ngoài các hiện tượng? Trong trường hợp này,

chúng sẽ áp dụng cho cái gì? Và rồi chúng ta đứng trước "một vũ trụ lựa chọn" trong số các khả năng: điều này tạo ra quá nhiều thế giới chỉ để bận tâm đến các quy luật nhân quả đơn giản ! Một cái gì đó bất biến nằm ngoài thời gian, thì nó vẫn mãi còn ở đó, chứ không thể tạo ra một vũ trụ được

Trịnh Xuân Thuận: Tôi thừa nhận rằng ở những thứ có liên quan đến sự tạo ra vũ trụ, giải pháp của tôi không thể giải quyết được sự lưỡng phân giữa một vị Thượng đế bất biến và hành động sáng thế, một hành động kéo theo sự vi phạm tính bất biến đó. Nhưng một khi vũ trụ đã được sinh ra, Chúa sẽ không cần phải tồn tại trong thời gian nữa. Ngài không sáng tạo nữa, và nói theo ngôn ngữ của ông, Ngài cũng không còn cần bận tâm đến sự biến đổi nữa. Chính vũ trụ phải tự mình làm việc đó.

Matthieu: Vậy Chúa sẽ mất đi sự toàn năng của mình.

Trịnh Xuân Thuận: Ta hãy quay trở lại bản chất của toán học. Có hai quan điểm đối lập nhau. Đối với những người theo quan điểm kiến thiết, thì toán học không thực sự tồn tại. Theo triết gia David Hume, "tất cả các ý tưởng của chúng ta chỉ là các sao chép các ấn tượng của chúng ta". Các hình thể hình học chỉ có hiện thực trong các hình thể của Tự nhiên. Bên phe đối lập có những người theo quan điểm hiện thực, theo họ, toán học có một "hiện thực" tách biệt với tư duy của chúng ta. Toán học tạo thành một tổng thể rộng lớn mà chúng ta tha hồ khám phá và phát hiện bằng lý trí, cũng tựa như một nhà thám hiểm phát hiện ra khu rừng Amazone. Dù chúng ta có ý thức được nó hay không, thì toán học vẫn

tồn tại đó.

Matthieu: Không nguyên nhân cũng không điều kiện? Và còn cần một cái bất biến không thay đổi !

Trịnh Xuân Thuận: Sự tồn tại của toán học tách biệt với hiện thực cảm nhận được bằng giác quan. Các nhà toán học vĩ đại nhất đều đã tán đồng quan điểm này. Hãy nghe Descartes nói về các hình thể hình học: "Khi tôi hình dung một tam giác, dù rằng có thể không ở đâu trên thế giới, ngoài trí óc của tôi, tồn tại một hình như thế và dù có thể chưa bao giờ có cái hình tam giác ấy, thì không phải vì thế mà nó không có một bản chất hay hình thức nào đấy, hoặc bản thể quyết định của hình tam giác ấy. Những thứ đó là bất biến và vĩnh hằng, mà tôi không hề sáng tạo ra và nó cũng không hề phụ thuộc và đầu óc tôi."

Matthieu: Nếu như ông ta không sáng tạo ra tam giác ấy, thì ai đã tạo ra nó cho ông ta? Nếu nó không phụ thuộc vào đầu óc ông ta, thì ông ta khó có thể nghĩ đến nó!

Trịnh Xuân Thuận: Gần chúng ta hơn, nhà toán học Anh, Roger Penrose, đã viết: "Các khái niệm toán học dường như có một hiện thực sâu xa vượt ra ngoài các cuộc tranh cãi của các nhà toán học. Điều này cũng tựa như tư duy con người được dẫn dắt tới một chân lý có hiện thực riêng của nó và mỗi người chúng ta chỉ được hé lộ một phần của nó mà thôi."

Cảm giác về một hiện thực toán học độc lập với đầu óc con người còn mạnh tới mức toán học dường như có một cuộc sống độc lập với những người sáng tạo ra nó, tựu như nó lôi kéo nhà nghiên cứu tiến đến Chân lý một cách không sao nông nổi. Nhà vật lý người Đức, Heinrich Hertz, từng nhận xét: "Chúng ta không

thể không nghĩ rằng các công thức toán học có một đời sống riêng, rằng những công thức này biết nhiều hơn những người đã phát minh ra chúng và rằng chúng cho chúng ta nhiều hơn là những gì mà chúng ta cho nó".

Matthieu: Đó đúng là một bà tiên Toán học ! Cùng với Thượng đế của Platon, các quy luật tổ chức và phức tạp hóa ở ngoài thời gian và tam giác Descartes điều đó tạo ra nhiều thế giới trên bầu trời của sự bất biến! Chắc hẳn là họ đã tìm thấy ở đó lông của rùa và sừng của thỏ?

Tôi xin lỗi vì đã nói đùa như vậy, nhưng, theo quan điểm của Phật giáo, thì điều đó không thể đứng vững được. Một thực thể tồn tại "tự thân" là đơn độc, luôn luôn đơn độc, và không có liên quan gì đến vũ trụ của chúng ta cả. Cần phải lựa chọn giữa nó và chúng ta. Tại sao lại luôn luôn muốn làm đông cứng sự vận hành của phép mầu bằng những khái niệm như thế: phép màu triển khai phi thực

của vô số các hiện tượng? Tại sao những cái trừu tượng đó lại có một hiện thực bản thể học? Lẽ nào bản thể của cái trừu tượng đó không chính là bản thể của một kết cấu tinh thần?

Trịnh Xuân Thuận: Tuy nhiên, cách mà trực giác toán học xuất hiện, bất thần và không ngờ, một cách hoàn toàn tự phát và không có sự chuẩn bị rõ ràng nào - cảm hứng thơ ca cũng có thể được mô tả tương tự - đã là chỗ dựa vững chắc cho ý tưởng về sự tiếp xúc của tinh thần với thế giới Platon các ý niệm toán học. Về điểm này, Roger Penrose rất rõ ràng: "Tôi hình dung rằng khi trí óc cảm nhận một ý tưởng toán học, nó sẽ tiếp xúc với thế giới Platon của các khái niệm toán học.

Sự trao đổi giữa các nhà toán học là có thể, chính vì mỗi người trong số họ đều đã tiếp cận trực tiếp với Chân lý và đã tiếp xúc với cùng một thế giới các ý niệm vĩnh hằng. Các chân lý vĩnh hằng này có vẻ như đã tồn tại từ trước trong một thế giới thanh khiết".

Matthieu: Cũng gần giống như một người nào đó thấy mình trong guồng mà không nhận ra mình. Các nhà toán học trao đổi với thế giới thanh khiết của não bộ họ và họ cũng rất sung sướng trao đổi với nhau vì não của họ giống nhau. Tôi tò mò rất muốn biết một con dơi sẽ giao tiếp với thế giới thanh khiết nào?

Trịnh Xuân Thuận: Sự tiếp xúc chớp nhoáng với thế giới các ý niệm toán học có thể xuất hiện ở những nơi khó lường nhất, như kiểu Archimède thốt lên eureka! trong bồn tắm. Henri Poincaré có kể lại lời giải một bài toán mà ông không tìm ra trong nhiều tuần lễ bỗng xuất hiện cực kỳ rõ ràng trong đầu mà ông không hề chuẩn bị trước, và vào lúc ông ít chờ đợi nhất: "Lúc đó, tôi rời Caen, nơi ở của tôi hồi đó, để tham gia một khóa học về địa chất do Trường Mỏ tổ chức. Những diễn biến trong chuyến đi làm tôi tạm quên đi các công việc toán học của mình; đến Coutences, chúng tôi lên một xe buýt mà tôi không biết là sẽ đi đâu; đúng lúc tôi đặt chân lên bậc cửa xe, thì một ý tưởng chợt nảy đến với tôi, mà trước đó trong các suy nghĩ của tôi không hề có chuẩn bị gì cho điều đó, tôi không hề kiểm tra lại vì không có thời gian, vừa ngồi vào xe buýt, tôi lại tiếp tục câu chuyện còn bỏ dở, nhưng ngay lập tức, tôi cảm thấy hoàn toàn chắc chắn. Lúc quay về Caen, khi

đầu óc đã bình tĩnh trở lại, tôi đã kiểm tra lại những kết quả mà ý thức của tôi đã ghi lại".

Như vậy, sự bất thần, tính chớp nhoáng và sự chắc chắn tức thì là những đặc tính của trực giác toán học.

Matthieu: Thú thực, tôi thấy có những cách giải thích trực giác đơn giản hơn nhiều. Nếu không, cũng sẽ phải xét với một ý niệm Thơ ca mà Baudelaire, Tagore và nhiều thi sĩ khác đã có lúc xuất thần tiếp xúc với nó, rồi một ý niệm Quyết định cho những điều còn lưỡng lự bỗng chốc được quyết định, và cứ tiếp tục như vậy mãi. Không cần phải xem xét những loại kiểu mẫu lý tưởng tồn tại tự thân ấy. Việc toán học ứng dụng vào thế giới và việc chúng ta có thể hiểu được toán học chỉ đơn giản chứng tỏ rằng toán học vừa phụ thuộc vào thế giới vừa phụ thuộc vào ý thức của chúng ta. Không gì, không một thực thể nào , không một vật cũng như không một khái niệm nào, có thể tồn tại tự nó và bởi nó . Các ý niệm của Platon chỉ phản ánh niềm tin

vào các nguyên nhân đầu tiên, bất biến, tác động chỉ theo một chiếu. Chúng loại trừ sự quy định lẫn nhau. Thế nhưng, không thể có một tác nhân nguyên nhân nào lại không bị tác động ngược trở lại. Một thực thể bất biến không thể tác động lên thế giới được.

Trịnh Xuân Thuận: Tôi nói đến các thực thể hoàn toàn trừu tượng xuất phát từ trí óc, nhưng lại tương ứng chính xác với tự nhiên. Tôi trở lại ví dụ lúc trước về hình học không gian cong mà chúng ta không thể cảm nhận được một cách trực tiếp. Vậy thì làm sao chúng ta có thể nghĩ ra nó?

Matthieu: ông nói rằng chúng xuất phát từ trí óc. Vậy nếu ý thức hoàn toàn độc lập với các hiện tượng,

thì ý thức không thể nghĩ ra các hiện tượng này và cũng không thể tri giác được chúng. Đối với ý thức chúng thậm chí không tồn tại. Sự phụ thuộc lẫn nhau vượt lên trên sự phân chia giữa "bên ngoài" và "bên trong". Trực giác toán học của một số người là phản ánh sự thâm nhập lẫn nhau một cách tự nhiên của ý thức và của thế giới các hiện tượng. Thực tế điều mà người ta cần phải tự hỏi là làm thế nào mà từ trạng thái hoàn toàn phụ thuộc lẫn nhau lại nảy sinh ra ảo giác về sự tách bạch đó? Theo Phật giáo, sự lưỡng phân giữa "bản ngã" và "thế giới" là biểu hiện đầu tiên của vô minh; có thể coi đó như là "tội nguyên thủy , trong Phật giáo. Thực ra, tội này chỉ là nguyên thủy về tên gọi thôi, chứ bất cứ khoảnh khắc nào chúng ta cũng đều phạm phải nó cả.

Trịnh Xuân Thuận: Tuy nhiên, không phải tất cả mọi người đều thấy cái mà Riemann hay Srinivasa Ramanuịan đã cảm nhận thấy. Ramanuịan là một nhà toán học thiên tài mà hành trình khoa học của ông đã minh họa tuyệt vời cho ý tưởng này về trực giác toán học. Sinh ra trong một gia đình nghèo ở Madras, Ấn Độ, ông chỉ được dạy dỗ rất sơ sài. Phần lớn là do tự học, ông đã phát hiện lại, theo cách riêng của mình và trong sự cô lập hoàn toàn về trí tuệ, rất nhiều kết quả toán học nổi tiếng. Ngoài ra, ông còn tìm ra hàng trăm định lý bằng trực giác mà không qua chứng minh chặt chẽ, những định lý cho đến ngày nay, 50 năm sau khi ông qua đời, vẫn chưa ai chứng minh được. Thế mà, những bài toán mà Ramanuịan đề cập tới một cách độc đáo và bằng trực giác ấy lại thường là những bài toán mà

các nhà toán học truyền thống lúc bấy giờ rất quan tâm.

Như vậy, một người xuất thân từ một môi trường văn hóa hoàn toàn khác, không được đào tạo theo kiểu hàn lâm, nhưng vẫn tìm ra những tư tưởng toán học giống với các đồng nghiệp túi đầy bằng cấp. Tôi không thể không nghĩ rằng ông ấy đã lấy cảm hứng của mình cũng trong thế giới Platon của các ý niệm toán học giống như các nhà toán học khác. Tương tự, khi tôi nghe nói đến những người có khả năng tính nhẩm thần kỳ, hoặc những "nhà bác học tự kỷ", những người bất chấp sự tàn tật của mình vẫn giải quyết được những vấn đề toán học hết sức phức tạp, là tôi tự nhiên lại liên tưởng tới sự tiếp cận thế giới các ý niệm.

Matthieu: Mới đây, sinh vật học đã làm sáng tỏ ở một số nhà toán học và những người có khả năng tính toán kỳ tài, những dị biệt trong các vùng não chịu trách nhiệm về thị giác và ngôn ngữ, điều này cho phép họ cảm nhận theo cách gần như bằng thị giác các mối quan hệ toán học chúng ta thường không thấy. Einstein nói rằng đôi khi ông có cảm tưởng là "nhìn thấy" lời giải cho một bài toán. Có nhiều trường hợp khác cũng đáng ngạc nhiên như trường hợp của

Ramajuan, đặc biệt là trường hợp của cặp song sinh, chỉ sau 5 phút suy nghĩ, cả hai đều có thể đưa ra danh sách các số nguyên tố tới gom 25 chữ số. Nhà tâm lý học nghiên cứu trường hợp của họ - thậm chí họ chỉ có chỉ số thông minh rất thấp - có kể lại rằng một hôm, ông làm rơi xuống đất một bao diêm. Bỗng cặp song sinh đồng thanh thốt lên: "111", đó chính xác là số que diêm mà họ nhìn thấy một cách rõ ràng tựa như chúng ta

nhìn thấy trên bàn có 4 cái cốc vậy.

Vì thế, các nhà sinh vật học đưa ra giả thiết cho rằng toán học gắn bó mật thiết với sự hoạt động của não. Quan điểm này trùng hợp với tư tưởng của Phật giáo, theo đó, toán học chỉ là một cách đọc các hiện tượng và không hề kéo theo sự hiện hữu của các thực thể có sự tồn tại độc lập.

Tùy theo cấp độ trí tuệ của chúng ta mà các khái niệm toán học làm sáng tỏ được một số mặt của sự phụ thuộc lẫn nhau của các hiện tượng. Nhà thơ diễn giải những điểm tương ứng giữa trí óc của chúng ta và các hiện tượng (vốn là hệ quả của sự phụ thuộc lẫn nhau của chúng) bằng cái đẹp, trong khi nhà vật lý lại biểu diễn những sự tương ứng đó bằng một công thức toán học. Vũ trụ không đến mức "quá phức tạp" đối với ý thức của chúng ta, vì chính ý thức của chúng ta quyết định vũ trụ của chúng ta. Mức độ phức tạp của các định luật vật lý phản ánh mức độ trí tuệ của các nhà toán học đã tạo ra nó. Như vậy, sẽ là sai lầm nếu coi toán học và các định luật vật lý "tinh quái" hơn trí tuệ đã nghĩ ra chúng. Đối với một người không giỏi toán, các phương trình vật lý không mô tả vũ trụ: chúng chẳng có nghĩa gì hết. Cũng như vậy, các định luật phức tạp hơn các định luật mà họ có thể hiểu được cũng không tồn tại đối với các nhà toán học, bởi vì họ không thể nghĩ ra chúng được.

Những khác biệt lớn giữa các khả năng nhận thức của các cá nhân cũng được phát hiện thấy ở các lĩnh vực khác. Hãy lấy ví dụ những người thiền định: sự tổng giác bằng trí tuệ cái trống rỗng của một người mới

bắt đầu thiền định không thể so sánh được với sự hiểu biết thu được từ trải nghiệm trực tiếp ở trạng thái Giác ngộ của một Đức Phật. Người ta nói rằng hai sự hiểu biết này khác nhau như bức tranh về một cái đèn và một cái đèn thật. Người ta có thể phát triển, luyện tập, thanh lọc và chuyển hóa đầu óc của mình một cách đáng kể. Người ta có thể chuyển dần dần từ sự u mê hoàn toàn bị chi phối bởi lòng hận thù và những chất độc tinh thần khác sang một trạng thái trung gian thanh tịnh, sự hỉ xả và làm chủ bản thân, và cuối cùng, đạt đến Giác ngộ, trạng thái cho phép có một cái nhìn chính xác về bản chất cuối cùng của các hiện tượng. ở giai đoạn này, sự hiểu biết luôn đi kèm với sự chắc chắn tức thì vượt trên mọi dạng tư duy logic.

Trịnh Xuân Thuận: Để giải thích những khác biệt giữa những người có khả năng thiên bẩm về toán học và những người ít có khả năng đó, ông đã nhắc đến đồng thời cả ngành sinh học thần kinh và sự luyện tập tinh thần. Trong ngành sinh học thần kinh, những nghiên cứu (mới chỉ chập chững bước đầu) gần đây nhất liên quan đến hoạt động toán học của bộ não nói rằng, thực tế, hoạt động này dường như là kết quả của sự kết hợp chặt chẽ giữa hai vùng của não, đó là vùng gần với thị giác (2 thùy đỉnh dưới và khe ở giữa) đóng vai trò là động cơ trực giác toán học, và vùng gắn với ngôn ngữ (thùy trán dưới bên trái), đây cũng là vùng dịch trực giác thành các công thức ký hiệu. Năm 1999, một nhóm các nhà thần kinh học Canada đã thông báo rằng hai thùy đỉnh của não Einstein tương ứng gắn với thị giác và trực giác toán

học lớn hơn của người bình thường 15%, điều này có lẽ đã giải thích được thiên tài của nhà vật lý này. Thực tế, trực giác đóng một vai trò hàng đầu trong khoa học, và các nhà khoa học lớn luôn luôn vận dụng nó triệt để. Phát biểu toán học (đòi hỏi có sự tham gia của ngôn ngữ) sẽ tới sau đó để làm chỗ dựa vững chắc cho trực giác. Trong câu chuyện kể ở trên, H. Poincaré đã có khẳng định chắc chắn ngay lập tức kết quả mà ông nhận được trong khoảnh khắc lóe sáng trên đường đi là đúng đắn. ông chỉ kiểm tra lại kết quả đó, trong một ngôn ngữ toán học chặt chẽ khi đã trở về nhà. Như vậy, sự chứng minh các công thức hay định lý toán học chỉ là để khẳng định chắc chắn một kết quả đã thu được bằng trực giác. Điều đó nói lên rằng ngành sinh học thần kinh còn lâu mới biết được chính xác chúng ta tư duy và sáng tạo như thế nào.

Matthieu: Dù thế nào chăng nữa, thì khả năng cảm nhận sự hài hòa của vũ trụ vốn là khả năng cố hữu của đầu óc của chúng ta. Việc phát biểu các định luật thông qua các phương trình, các con số, các mối liên hệ, các sự tương ứng và các cấu trúc là một sản phẩm của tư duy khái niệm, nhưng quá trình khái niệm hóa của chúng ta đối với những cái chỉ là sự phụ thuộc lẫn nhau nên không có bất kỳ sự tồn tại tự thân nào.